Koch verbrachte seine Kindheit und Jugend in Stuttgart. Ursprünglich wollte er Musiker werden, aber die Inszenierungen des Stuttgarter Intendanten Claus Peymann brachten ihn Ende der 70er Jahre dazu, seinen Berufswunsch zu ändern und die Schauspieler-Laufbahn einzuschlagen. Koch absolvierte seine Ausbildung von 1982 bis 1985 an der Otto-Falckenberg-Schule in München. Nach ersten Auftritten am dortigen Theater der Jugend folgten Engagements an den Städtischen Bühnen Ulm, dem Staatstheater Darmstadt und den Staatlichen Bühnen Berlin - Schillertheater.